f(x)=x^3/3+ax^2+bx

f'(x)=x^2+2ax+b
f'(-1)=0,代入
所以b=2a-1

若f'(x)=x^2+2ax+2a-1=0
判别式=4a^2-8a+4=4(a-1)^2
所以x=-a±|a-1|
所以x=-a+(a-1)=-1或x=-a-(a-1)=-2a+1
若-1>-2a+1,a>1,则x<-2a+1,x>1时f'(x)>0
若-1<-2a+1,a<1,则x<-1,x>-2a+1时f'(x)>0
若a=1,f'(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2>=0

综上
a<1,则x<-1,x>-2a+1时f'(x)>0,f(x)是增函数
-2a+1<x<-1时是减函数

a=1，始终是增函数

a>1,则x<-2a+1,x>-1时f'(x)>0,f(x)是增函数
-2a+1<x<-1时是减函数

f(x)=(x^3)/3+ax^2+bx ,f`(-1)=0
f'(x)=x²+2ax+b,f'(-1)=1-2a+b=0
b=2a-1

f'(x)=x²+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)
若1-2a>-1,a<1
单增x∈(-∞,-1)∪(1-2a,∞)
单减x∈(-1,1-2a)
若1-2a=-1,a=1
单增x∈R

若1-2a<-1,a>1
单增x∈(-∞,1-2A)∪(-1,∞)
单减x∈(1-2A,-1)